Alba e Tramonto

Il TEMPO DI MURLO

parte seconda

Sono passati alcuni anni da quando scrissi la prima parte di questo articolo [1], il cui seguito doveva apparire nel numero successivo di Murlo Cultura. Un articolo che mi era stato ispirato dal mio interesse di quel periodo, relativo agli orologi solari su cui scrissi un libro [4], ma soprattutto dal ricordo di una simpatica "donnina" di Lucignano d'Arbia che mi fece riflettere, molti anni or sono, della diversa "misura" del tempo che abbiamo al giorno d'oggi, scandito dagli orologi elettronici. Per l'anziana signora, invece, quando era giovane, il tempo, e quindi le attività, erano determinate solo dal Sole, come ebbe a dire rispondendo ad una nostra domanda sui suoi sogni da adolescente: "Sognare? Non ci s'aveva tempo di sognare! Il giorno si lavorava da sole a sole, e la notte si dormiva!". L'articolo doveva proseguire con i calcoli per determinare le ore dell'alba e del tramonto di Murlo e di ogni località dell'emisfero Nord, una scrittura quindi leggermente tecnica che mi ha fatto dubitare sulla sua attinenza con la nostra rivista; una scrittura sul tempo, il tempo di Murlo ma anche il tempo di qualsiasi luogo, e ora, dopo molto tempo, appunto, dopo essere tornato dal XX Seminario Nazionale di Gnomonica [2], dove decine di esperti di orologi solari mostrano i loro studi e le loro realizzazioni, mi è tornata la voglia di terminarlo con la speranza che possa comunque riscontrare l'interesse di chi è anche attratto da calcoli trigonometrici e matematici in questa relazione un po' diversa dagli argomenti comunemente trattati dalla nostra pubblicazione.
Riprendiamo quindi dalla domanda sulla nostra curiosità: come si possono conoscere gli istanti dell'alba e del tramonto di Murlo? Avevamo ricordato che un tempo era sufficiente la lettura degli orologi solari ad ore italiche e babiloniche, per sapere quante ore erano passate dall'alba, o quanto tempo ci separava ancora dalle tenebre della notte. Al giorno d'oggi lo possiamo sapere dalla radio o dalla televisione, ma le loro indicazioni non vanno bene per tutti i luoghi d'Italia, perché si riferiscono necessariamente ad un orario medio, mentre ogni luogo ha un suo "tempo personale" che può differire di diverse decine di minuti da una città all'altra (ad esempio, tra Brindisi e Aosta il Sole impiega 40 minuti ad attraversare i rispettivi meridiani).
Se vogliamo informazioni temporali esatte sul luogo dove abitiamo, dobbiamo studiare il moto apparente del Sole sulla Volta Celeste dove percorre un arco durante il dì nascendo ad Est per poi tramontare ad Ovest, passando per un punto di massima altezza quando è a Sud. Va detto che solo nei giorni degli equinozi di primavera e autunno, il Sole sorge esattamente a Est e tramonta esattamente a Ovest; giorni in cui la durata del dì è di 12h, esattamente come la notte, fenomeno da cui deriva, appunto, il nome equinozio, dal latino "aequa nox", notte uguale. Durante il periodo autunnale-invernale, i punti dove nasce e tramonta il Sole si spostano verso Sud, con conseguente diminuzione della durata del dì (Fig.1). In primavera-estate, questi effetti si invertono, le giornate si allungano, e i punti dove il Sole sorge e tramonta si spostano verso Nord (Fig.1).

Fig. 1. Nel suo moto apparente, il Sole sorge a Est e tramonta ad Ovest, passando per un punto di massima altezza in corrispondenza del Meridiano Locale Celeste. In quell'istante si ha il Mezzogiorno Vero e l'astro indica la direzione del Sud. L'altezza del Sole al Mezzogiorno cambia con le stagioni, così come l'azimut dei punti corrispondenti all'alba e al tramonto. In figura, sono indicati con Aes e Ainv i punti sull'orizzonte per l'alba in estate e in inverno, rispettivamente. Tes e Tinv indicano i punti corrispondenti per il tramonto. Agli equinozi, il Sole sorge esattamente a Est e tramonta esattamente a Ovest.

Ricordo che si indica con "giorno" la durata completa di 24 ore, composta dalla notte e dal dì, dove "dì" indica il solo periodo di luce.
Vediamo allora di capire come calcolare questi tempi iniziando dalle definizioni di Alba e Tramonto, cioè gli istanti in cui la parte superiore del disco solare tocca l'orizzonte, sia la mattina che la sera. Su questo aspetto influisce la curvatura della Terra e la presenza dell'atmosfera, che fanno sì che, in ogni luogo della Terra, il Sole abbia una declinazione negativa sull'orizzonte per tramontare totalmente o per essere visibile al mattino. Questa declinazione, per il diametro apparente del disco solare assieme alla presenza dell'atmosfera che diffonde la luce, equivale mediamente a −0,833° e questo fenomeno comporta che il dì duri in realtà un po' di più rispetto al caso teorico in cui si consideri il Sole come un punto. In questo articolo, trascurerò questi aspetti più dettagliati del fenomeno, come anche quello della rifrazione atmosferica, e considererò il moto apparente del Sole trattandolo come un punto.
Nel caso reale si avrà una piccola differenza che comporta il verificarsi dell'alba circa 5 minuti prima e il tramonto circa 5 minuti dopo, rispetto ai calcoli teorici che ci apprestiamo a vedere.

Osservazioni e Calcoli
Premetto che, chi non è interessato alle spiegazioni sui calcoli ma è comunque curioso di conoscere i risultati può scaricare da internet il foglio di calcolo che ho preparato, dove potrà divertirsi a cambiare le date e osservare come variano le ore di luce e gli istanti di alba e tramonto. Il link è all'indirizzo riportato in basso [3] e il foglio si presenta come mostrato in Figura 2 dove, in alto, è possibile scegliere tutti i parametri per il calcolo e, automaticamente, in basso saranno mostrati i risultati e anche i grafici delle variazioni di durata dei periodi di luce.

Fig. 2. Schermata del foglio di calcolo con cui calcolare gli istanti di alba e tramonto e la durata del dì per un luogo qualunque dell'emisfero nord a latitudine inferiore al circolo polare artico, nei vari giorni dell'anno.

I grafici e le tabelle per Murlo saranno mostrati avanti, nell'articolo. Le seguenti considerazioni sono inoltre fatte per l'emisfero nord e per latitudini inferiori al circolo polare artico. Per capire come calcolare il periodo in cui il Sole attraversa la Volta Celeste di un certo luogo (nel caso di esempio sarà il nostro comune di Murlo), facciamo riferimento alle immagini di Figura 3. La Figura 3a mostra la Terra vista dal piano equatoriale mentre è illuminata dal Sole durante l'equinozio estivo, il 21 di giugno. Nell'immagine è indicata la traiettoria percorsa dal nostro paese, Murlo, intorno all'asse terrestre (ma potrebbe essere uno qualsiasi a latitudine diversa). La Figura 3c mostra lo stesso percorso visto però dall'alto, dall'asse terrestre cioè, una circonferenza che il nostro luogo percorre in 24 ore; questa figura ci fa capire come la durata del dì dipenda dalla frazione di tempo in cui un luogo si trova nella zona di luce rispetto al percorso totale. Si tratta quindi semplicemente di valutare quanto vale quell'angolo e metterlo in relazione al tempo, sapendo che 360° vengono percorsi in 24 ore, cioè 15 gradi all'ora.
Sulla destra della Figura 3 sono riportati i disegni geometrici 3b e 3d - relazionati alle figure di sinistra – con le indicazioni delle distanze e degli angoli che ci permetteranno di fare le nostre osservazioni e calcoli.

Fig. 3. Percorso del nostro comune di Murlo durante il giorno, visto dal piano equatoriale (a)(b) e dall'asse terrestre (c)(d). Le ombre simulate indicano l'illuminazione della Terra al solstizio d'estate, 21 giugno. Le figure (b) e (d) riportano le grandezze utilizzate nel testo.

Facendo riferimento alla Figura 3b, chiamando r il raggio della Terra, ed essendo un triangolo rettangolo la figura composta dalle linee a-g-r, osserviamo che il raggio g della circonferenza descritta intorno all'asse terrestre dal nostro luogo durante un giorno può essere calcolato come

dove Lat rappresenta la latitudine del luogo di interesse.
Analogamente si può esprimere la distanza dall'Equatore del luogo considerato, misurata sull'asse terrestre, che chiamiamo a, come

Chiamiamo d la distanza dell'asse terrestre dall'intersezione della linea d'ombra proiettata dal Sole (linea AB perpendicolare ai raggi solari) con la linea percorsa dal luogo (Figura 3b); questo valore può essere ricavato come:

Dove δ è la declinazione del Sole, che varia ogni giorno da un minimo di -23.43° al solstizio di inverno, il 21 dicembre, ad un massimo di 23.43° al solstizio d'estate, il 21 giugno, passando da una declinazione nulla per gli equinozi del 21 marzo e 23 settembre.
Dalla Figura 3d osserviamo poi che d ci indica anche i punti che rappresentano gli istanti dell'alba (Pa) e del tramonto (Pt). Pm indica il punto in cui si trova Murlo al Mezzogiorno Vero. Si noti anche che la rotazione in senso antiorario della Terra fa sì che il Sole sorga ad Est e tramonti ad Ovest. Sostituendo l'espressione ricavata per a nella formula precedente, si ha

Possiamo quindi desumere il dato più importante per il nostro scopo e cioè quello che chiameremo Angolo-Orario-Differenza AOD, cioè l'angolo tra la linea OE (asse perpendicolare alla direzione dei raggi solari passante per l'asse terrestre, Figura 3d) e la linea che unisce il punto di alba Pa e l'asse terrestre. AOD è quindi la differenza di angolo orario con i valori di alba e tramonto agli equinozi. Notiamo che il punto d ha valore massimo (e positivo) al solstizio d'estate (caso illustrato nelle figure) ma varia in base alla declinazione δ del Sole, arrivando al minimo al solstizio di inverno (quando avrà valore opposto e il punto di alba sarà a destra della linea OE) mentre sarà 0° agli equinozi.
Di conseguenza varierà AOD che, una volta noto, ci permetterà di valutare quanto si discostano gli istanti di alba e tramonto rispetto alla giornata di 12 ore agli equinozi, giorni in cui l'ombra della Terra cadrà esattamente sulla linea OE.
Facendo ancora riferimento alla Figura 3d, possiamo quindi valutare AOD con semplici formule trigonometriche:

Da cui, sostituendo le espressioni di d e g:

con alcuni passaggi si ottiene infine:

(vedi nota in fondo all'articolo)

Notare che il raggio della Terra r scompare dai conti che diventano indipendenti da esso.
L'angolo AOD può essere ora convertito in un tempo, dall'osservazione che il giro completo della Terra (360°) viene compiuto in 24h e, quindi, ogni ora vengono coperti 15 gradi.
Il tempo che rappresenta la differenza con il tramonto (o alba) agli equinozi, espresso in ore, lo chiameremo OD (ora di differenza) e lo possiamo quindi ottenere come

Durata del Dì
A questo punto abbiamo finalmente ricavato la grandezza che ci interessava, dalla quale possiamo calcolare la durata del dì in un determinato giorno per il nostro luogo dell'emisfero nord. Questa durata si ricava aggiungendo 2 volte il tempo OD (una come differenza con l'alba e una per il tramonto) alle 12 ore che rappresentano la durata del dì agli equinozi. Si ha quindi:

Durata del dì: 

Ora che abbiamo la formula, possiamo divertirci a calcolare quante sono le ore di luce per ogni giorno dell'anno nel nostro comune di Murlo, cioè alla latitudine Lat = 43.167°. Sappiamo già che per gli equinozi (21 marzo, 23 settembre), quando la declinazione del Sole è δ = 0°, il dì dura quanto la notte e cioè 12 ore. La formula precedente ci dà solo la conferma di questo. Per il solstizio d'estate, invece, quando la declinazione del Sole è δ = 23.43°, possiamo calcolare una durata di luce di 15 ore e 11 minuti, mentre al solstizio di inverno, 21 dicembre, la declinazione del Sole è δ = -23.43° e la durata del dì scende a sole 8 ore e 48 minuti.
Riporto nella seguente tabella i dati ricavati per questi giorni dell'anno per Murlo, considerando che a giugno e settembre è in vigore l'ora legale:

Ovviamente non ha senso, al giorno d'oggi, mettersi ad impazzire con la calcolatrice per fare questi conti; per questo ho preparato il foglio di calcolo scaricabile all'indirizzo riportato nelle note [3], con cui, anche chi non è avvezzo all'uso della matematica e trigonometria, potrà comunque sbizzarrirsi a cambiare i parametri ed osservare i risultati.
Il foglio di calcolo mostra anche le ore di alba e tramonto e, in un grafico, l'andamento della durata del dì per tutto l'anno, solo per Murlo in questo caso (Figura 4).

Figura 4. Durata del dì a Murlo (SI) nei vari giorni dell'anno.

Nell'articolo seguente, vedremo altre curiosità legate alla velocità di variazione delle ore di luce, il calcolo degli istanti di alba e tramonto, la loro posizione sull'orizzonte e come varia l'altezza del Sole durante la giornata.

  di Nicola Ulivieri - www.nicolaulivieri.com

NOTA
Se cerchiamo su testi specifici per questi argomenti [5], troviamo che l'arco percorso dal sole, dal passaggio al Meridiano Locale Celeste fino al tramonto (Figura 1), chiamato semiarco diurno, è dato dalla formula:

semiarco diurno =

Usando la formula che abbiamo ricavato in questo articolo, il semiarco diurno lo troviamo aggiungendo l'angolo differenza AOD a 90°, poiché AOD l'abbiamo definito proprio come differenza con l'angolo orario agli equinozi. Quindi

semiarco diurno =

Sapendo dalla trigonometria che arccos(x) = arcsin(-x)+90°, si dimostra che la formula presente in letteratura e quella ottenuta qui sono equivalenti. Direte voi: "ma allora non si poteva usare la formula già fornita e non sbattezzarsi a ritrovarla da noi?". Certo, ma se vogliamo capire ed essere sicuri di quello che facciamo, è bene approfondire e non accontentarsi della pappa scodellata.

  di Nicola Ulivieri - www.nicolaulivieri.com

Fonti citate o consultate

[1] Alba e Tramonto – prima parte, di Nicola Ulivieri, MurloCultura n.6/2010

[2] XX Seminario Nazionale di Gnomonica, http://gnomonica.osservatoriogalilei.com/IT

[3] Foglio di calcolo sul sito www.nicolaulivieri.com/mioLibro.htm, scaricarlo cliccando su "calcolo semplificato dell'alba e tramonto" nella sezione Software.

[4] I segreti degli orologi solari. Nicola Ulivieri (2009). Edizioni Progetto Cultura, Roma.

[5] Astronomia, Formule e Tabelle. Rodolfo Baggio (2000). Milano.